Variable compleja para métodos matemáticos. Parte 2

¡Hola! Me complace guiarte a través de una descripción detallada del contenido que podrías encontrar en un curso universitario sobre transformaciones de Möbius, límites, continuidad y cálculo diferencial en variable compleja, y finalmente, funciones analíticas, holomorfas, armónicas y sus relaciones. Aquí te detallo cada sección:

1- Transformaciones de Möbius y el infinito en variable compleja

Transformaciones de Möbius: Este tipo de transformaciones son aplicaciones rationales del plano complejo que preservan las propiedades de las líneas rectas. Se caracterizan por su capacidad de mapear círculos en círculos y rectas en rectas (o en círculos si la recta se mapea en un círculo), y pueden estirar, invertir, rotar o reflejar el plano complejo.

El infinito en variable compleja: Aquí aprenderás a manipular el infinito en el contexto de los números complejos, lo cual es crucial para entender las transformaciones de Möbius y cómo estas pueden modelar fenómenos en la física y matemáticas.

Ejercicios: Al final de esta sección, se te pedirán ejercicios que requerirán de tu habilidad para manipular transformaciones de Möbius, interpretar el infinito y utilizar el módulo y el conjugado para resolver problemas más complejos.

2- Más sobre límites, continuidad y cálculo diferencial. Cauchy-Riemann

Límites y continuidad en variable compleja: Profundizaremos en cómo se definen y calculan los límites en el plano complejo, y cómo estas afectan la continuidad y derivabilidad de las funciones complejas.

Cálculo diferencial: Aprenderás a calcular derivadas en variable compleja utilizando diferentes métodos, incluyendo el uso directo de la definición de límite y métodos más geometricos o algebraicos.

Cauchy-Riemann: Estas ecuaciones son fundamentales para establecer la conexión entre las componentes real e imaginaria de una función compleja diferenciable, y son esenciales para cualquier función analítica (holomórfica).

Ejercicios: Te proporcionaremos ejercicios que te permitirán practicar la interpretación de límites en el plano complejo, la continuidad y la derivabilidad, y aplicar las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

3- Funciones derivables, analíticas, holomorfas, armónicas y armónicas conjugadas

Funciones derivables y analíticas: Las funciones analíticas son aquellas que se pueden expresar localmente como una suma de un polinómio y una fractionada (una fracción racional en términos de potencias), y son completamente derivables.

Holomorfas y armónicas: Las funciones holomórficas en un dominio deconexo son aquellas que son analíticas en ese dominio. Las funciones armónicas satisfacen las ecuaciones del tipo $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$.

Armónicas conjugadas: Cada función armónica real tiene una función armónica imaginaria asociada que es la parte imaginaría de una función analítica cuya parte real es la original.

Ejercicios: Los ejercicios aquí te permitirán practicar la identificación y el trabajo con funciones analíticas, holomórficas y armónicas, así como ver cómo se relacionan entre sí a través de sus representaciones en el plano complejo.

Vídeos adicionales

Al final del curso, te proporcionaremos acceso a una serie de vídeos que complementan el temario principal. Estos vídeos cubrirán:

• La historia y los contextos matemáticos y físicos que llevaron al nacimiento de la unidad imaginaria.
• Explicaciones adicionales que pueden ofrecer una comprensión más profunda o diferente perspectiva sobre las matemáticas y cómo se han desarrollado a lo largo del tiempo.

Este curso te proporcionará una base sólida en matemáticas avanzadas, con aplicaciones tanto puras como aplicadas, y prepararte para futuros estudios en campos como física teórica, ingeniería, e incluso historias matemáticas. Además, te habilitará para resolver problemas complejos utilizando el lenguaje de las funciones complejas.