Nesne Takibi Algoritmaları : Teori ve Matlab uygulaması

İlk olarak, Kalman filtresinin teorik yapısını ve adımlarını özetleyeyim. Kalman filtresi, bir sistemin gelen verileri kullanarak optimal olarak kalıcı estimer (yani belirli bir süre içinde belirli bir zaman noktasındaki sistemin değerini tahmin etmek) için matematiksel bir yöntem olarak tanımlanabilir. Bu süreci, gelen verilerin stokastik (olasılık taberindeki) doğal sıfır hatalığa sahip olduğu varsayarak gerçekleştiririz.

Kalman filtresi oluşumunda öncelikle izleme sistemi ve bu sistemin dinamikları üzerine bir model oluşturma gerekmektedir. Bu model, genellikle bir denkleme veya sinyal geleneki formülü içerir ve sistemi nasıl tepkilediğini tanımlar. Daha sonra, bu modelle bağlı olarak sistemin ölçim hatalarını ve stokastik sınırlara olan izin genişliğini (Kalman kutusunu) tanımlarak bir ara kısım oluştururlar.

Kalman filtresinin temel adımları şunlar olacaktır:

1. Sistem Modeli (State Model): Sistemin dinamiklerini ve tahmin edilecek değerlerin nasıl zaman içinde değiştiğini tanımlar. Bu, genellikle bir denkleme ile ifade edilir.

2. Ölçim Modeli (Observation Model): Gelen verilerin nasıl sistem durumu üzerinden hesaplandığını ve ölçüm hatalarına dikkat edildiğini belirtir.

3. Kalman Kutusu (Covariance Matrix): Sistemin beklenen kalıcı değerinin sınırlayıcı seçimini yapar ve bu, ara kısımdaki adımlarda kullanılacak. Kalman kutusunun genişliği, sistemin veriler üzerinde değinerken incelenir ve gerektiğinde ayarlanır.

4. Kalman Filtresi Adımı: Bu adımda, yeni bir zaman noktası için:

   • Ölçüm Açıklamaya (Measurement Update): Gelen verileri kullanarak mevcut tahmini güncelleriz.
   • Dönülme (Time Update): Teknik olarak, sistemin ilerlemesiyle bir sonraki zaman noktasına geçişini hesaplayarak tahmini adım adım güncelleriz.

5. Sonuç: Her iki adımdan geçildiğinde, optimal kalıcı değer ve kalıcı hata dağılımı elde ederiz.

Bu adımları ayrı ayrı inceleyerek ve her biri için örnekler sunarak, Kalman filtresi nasıl çalıştığını daha iyi anlamaya çalışabiliriz. Aşağıda, sentetik veriler üzerinde basit bir Kalman filtre uygulamasyonunu ve adımlarını göstereceğim:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Sistem parametreleri
Q = 0.1  # Proses hataları kutusu
R = 0.5   # Ölçüm hataları kutusu
P = 10   # Başlangıç Kalman kutusu (buyuk bir değer)
x_estimated = np.zeros(1)  # Başlangıç tahmini
H = 1    # Ölçüm modeli matrisi
F = 1    # Sistem dinamikleri matrisi (Örnek olarak sabit olarak 1)
P_pred = P  # Adım başlangıç kalıcı değerinin sınırlayıcı
x_measured = np.zeros(1)  # Başlangıç ölçüm verisi

for t in range(50):  # 50 adımdır, bu eşitlenebilir
    # Sistem modelli yapılır ve tahmin yapılır (Time Update)
    x_estimated = F @ x_estimated
    P_pred = F @ P @ F.T + Q  # Kalman kutusu adım adım güncelllenir

    # Yeni bir ölçüm verisi alınır ve sistem modelli kullanılarak bu ölçüm verisine hareket etkilenen tahmin yapılır (Measurement Update)
    y = x_measured[t] - x_estimated  # Ölçüm hataları içeren fark
    S = P_pred @ H + R  # Kalman kutusunun güncellemesi, ölçüm modeli ve ölçüm hataları dahil olarak hesaplanır
    K = P_pred @ H.T @ np.linalg.inv(S)  # Kalibrasyon matrisi (Kalman kazancı)
    x_estimated = x_estimated + K @ y  # Tahmin güncellenir (sabit ölçüm verisi için, eğer ölçüm verileri değişiyorsa y[t] yerine kullanılacaaktır)
    P = (np.eye(len(x_estimated)) - K @ H) @ P_pred  # Kalman kutusu güncellenir, kalıcı hata sınırlayıcı olarak kullanılır

    # Yeni ölçüm verisi eğer varsa işlemelidir (örneğin, geri bildirim gelen bir veri akışında)
    if t < len(x_measured):
        x_measured = [x_measured[t]]  # Ölçüm verisi burada kullanılmış olabilir
    
    # Görselleştirme ve diğer işlemler...

Bu kod parçası, Kalman filtresinin temel çalışma prensibini ve bir basit sistem için nasıl uygulanabileceğini göstermektedir. Gerçek dünya verileriyle çalışırken, sistem modeline ve ölçüm modeline uygun aylar ve hataları eklemek, verilerin kalitesini ve sistemin davranışını iyileştirecektir. Kalman filtreleri, gelen çeşitli veri türleri ve senaryoları için geniş bir yelpazede kullanılabilir, otomobil lokasyonu, hava hareketlerini izlemek, güneş enerjisi tahmini ve daha pek çok alanda.