Geometria na Egzaminie Ósmoklasisty

1. Trójkąt ostrokątny: trzy boki są równe, suma długości dwóch kątów jest równa 90° (180 Gradów), a jeden kąt jest prosty.

2. Trójkąt prostokątny: jeden kąt jest prosty, dwie pozostałe kąty są równe i mniejsze niż 90°. Suma długości trzech kątów wynosi 180°.

3. Trójkąt rozwartokątny: żaden z boków nie jest równy dwóm innym, suma długości trzech kątów jest mniejsza niż 180° (180° - a, gdzie a < 30° dla trójkąta ostrokątnego), jeden z kątów jest większy niż 90°.

4. Trójkąt równoboczny: wszystkie boki są równe, wszystkie kąty są równe (60° każdy), spełnia zasadę trójkąta pythagorejskiego.

5. Trójkąt równoramienny: dwie długości boków są równe, jedna jest rówina dłuża, zawsze spełnia zasadę trójkąta pythagorejskiego (twierdzenie Pitagorasa bez twierdzenia odwrotnego).

6. Wielokąt foremny: wszystkie boki mają równy długość, wszystkie kąty mają identyczny kąt wypukły (mniejszy niż 90°) lub spłaszczony (większy niż 90°), pole powierzchni jest maksymalne dla danych długości boków.

Aby obliczyć najkrótszą wysokość trójkąta prostokątnego, użyjemy twierdzenia Pitagorasa. Podajmy, że trójkąt ma boki o długościach: a = 5 cm, b = 12 cm, c = 13 cm. Oczywiście, gdyż jest to trójkąt prostokątny, najkrótsza wysokość (wysoka równoboczna) będzie przeciwległa do boku długości c i zostanie obliczona na podstawie zasady trójkąta pythagorejskiego: c² = a² + b².

c = √(a² + b²) c = √(5² + 12²) c = √(25 + 144) c = √169 c ≈ 13 cm

Baczę na zadanie dotyczące rombu, gdzie przekątna BD jest przedłużona do punktu E w takim sposób, że BE jest dwukrotnie dłuższy od przekątnej BD. W takim przypadku skońcowany trójkąt CDE będzie również prostokątny (ponieważ jeden z kątów w rombie jest prawidłowy, a przekątna podwajona oznacza, że inny kąt również będzie prawidłowy). Ponieważ AB=AD=AC=BD=8 dm i BD=10 dm, BE=2*BD, więc BE=20 dm. Teraz możemy skonstruować trójkąt CDE, gdzie kąt CBE jest prosty (ponieważ suma kątów w trójkącie CBE wynosi 180° i kąt CBE jest prawidłowy, to kąty BCE i ECD będą również prawidłowe). Pole powierzchni trójkąta CDE można obliczyć jako połowę sumy poleń trójkątów ABC i ADE.

Pole trójkąta ABC (z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa): AB² + BC² = AC² (8 dm)² + (8 dm)² = (10 dm)² 64 dm² + 64 dm² = 100 dm² 128 dm² = 100 dm² (to jest niezgodne z zasadą trójkąta, więc musimy uwzględnić także kąt ABC, który jest równy 53,13°)

Pole trójkąta ADE: AD² + DE² = AE² (8 dm)² + (20 dm)² = (BE)² 64 dm² + 400 dm² = 400 dm² 464 dm² = 400 dm² (to również nie jest zgodne, więc musimy uwzględnić kąt ADE, który jest równy 38,69°)

Pole powierzchni trójkąta CDE: Pole ABC + Pole ADE - (Pole BC + Pole DE, gdzie BC i DE są trójkąty prostokątne z bokami wynoszącymi 8 dm) (1/2 * 64 dm² + 1/2 * 464 dm² - (1/2 * 2*(8 dm)²)) dm³ (32 dm² + 232 dm² - 32 dm²) dm³ 560 dm²

Pamiętajmy, że w rzeczywistości trójkąt CDE nie istnieje, ponieważ AB i AD nie mogą być jednocześnie przekątnymi rombu, gdyż jeden z kątów rombu musi być mniejszy niż 90°, a w zadaniu podane są dwa przekątne o równych długościach i sumie 80 dm. W prawdziwym rombie AB=AD, BD=10 dm, a BE=20 dm, kąt B należełaby dołączyć do kątów A i C, aby tworzyć trójkąt prostokątny, ale nie można w ten sposób ztworzyć trzeciego kąta prostego w trójkącie CDE. Błąd w zadaniu.